Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс

На этом уроке все желающие смогут изучить тему «Превращение энергии при колебательном движении. Затухающие колебания. Вынужденные колебания». На этом уроке мы рассмотрим, какое превращение энергии происходит при колебательном движении. Для этого мы проведем важный эксперимент с системой горизонтального пружинного маятника. Также мы обсудим вопросы, связанные с затухающими колебаниями и вынужденными колебаниями.

Урок посвящен теме «Превращение энергии при колебательном движении». Кроме этого, мы рассмотрим вопрос, связанный с затухающими и вынужденными колебаниями.

Приступим к знакомству с этим вопросом со следующего важного эксперимента. К пружине прикреплено тело, которое может совершать горизонтальные колебания. Такую систему называют горизонтальным пружинным маятником. В этом случае можно не учитывать действие силы тяжести.

Рис. 1. Горизонтальный пружинный маятник

Будем считать, что в системе сил трения, сил сопротивления нет. Когда эта система находится в равновесии и никакого колебания не происходит, скорость тела равна 0 и отсутствует деформация пружины. В этом случае энергии у данного маятника нет. Но стоит только тело сместить относительно точки равновесия в правую или в левую сторону, в этом случае мы совершим работу по сообщению энергии в данной колебательной системе. Что в этом случае происходит? Происходит следующее: пружина деформируется, изменяется ее длина. Мы сообщаем пружине потенциальную энергию. Если теперь отпустить груз, не удерживать его, то он начнет свое движение к положению равновесия, пружина начнет выпрямляться и деформация пружины будет уменьшаться. Скорость тела будет увеличиваться, и по закону сохранения энергии потенциальная энергия пружины будет превращаться в кинетическую энергию движения тела.

Рис. 2. Стадии колебаний пружинного маятника

Деформация ∆х пружины определяется следующим образом: ∆х = х 0 - х. Рассмотрев деформацию, мы можем сказать, что вся потенциальная энергия запасена именно в пружине: .

Во время колебаний потенциальная энергия постоянно превращается в кинетическую энергию бруска: .

Например, когда брусок проходит точку равновесия х 0 , деформация пружины равна 0, т.е. ∆х=0, стало быть, потенциальная энергия пружины равна 0 и вся энергия потенциальная пружины превратилась в кинетическую энергию бруска: Е п (в точке В) = Е к (в точке А) . Или .

В результате такого движения потенциальная энергия превращается в кинетическую. Потом вступает в действие так называемое явление инерции. Тело, которое обладает некоторой массой, по инерции проходит точку равновесия. Скорость тела начинает уменьшаться, а деформация, удлинение пружины увеличивается. Можно сделать вывод о том, что кинетическая энергия тела уменьшается, а потенциальная энергия пружины вновь начинает нарастать. Мы можем говорить о превращении кинетической энергии в потенциальную.

Когда тело остановится в итоге, скорость тела будет равна 0, а деформация пружины станет максимальной, в этом случае можно говорить, что вся кинетическая энергия тела превратилась в потенциальную энергию пружины. В дальнейшем все повторяется сначала. При выполнении одного условия такой процесс будет происходить непрерывно. Что это за условие? Это условие - отсутствие трения. Но сила трения, сила сопротивления присутствует в любой системе. Поэтому с каждым следующим движением маятника, происходят потери энергии. Совершается работа по преодолению силы трения. Сила трении закону Кулона - Амонтона: F ТР = μ . N .

Говоря о колебаниях, мы всегда должны помнить, что сила трения приводит к тому, что постепенно вся энергия, запасенная в данной колебательной системе, превращается во внутреннюю энергию. В результате колебания прекращаются, а раз колебания прекращаются, то такие колебания называются затухающими.

Затухающие колебания - колебания, амплитуда которых уменьшается вследствие того, что энергия колебательной системы расходуется на преодоление сил сопротивления и сил трения.

Рис. 3. График затухающих колебаний

Следующий вид колебаний, который мы рассмотрим, т.н. вынужденные колебания. Вынужденными колебаниями называют такие колебания, которые совершаются под действием периодической, внешней, действующей на данную колебательную систему силы.

Если маятник совершает колебания, то, чтобы эти колебания не прекращались, каждый раз на маятник необходимо действие внешней силы. Например, мы действуем на маятник собственной рукой, заставляем его двигаться, подталкиваем. Необходимо обязательно действовать с некоторой силой и восполнять потерю энергии. Итак, вынужденные колебания - те колебания, которые совершаются под действием внешней вынуждающей силы. Частота таких колебаний будет совпадать с частотой внешней действующей силы. Когда на маятник начинает действовать внешняя сила, происходит следующее: сначала колебания будут иметь маленькую амплитуду, но постепенно эта амплитуда будет возрастать. И когда амплитуда приобретет постоянное значение, частота колебаний приобретет тоже постоянное значение, говорят о том, что такие колебания установились. Вынужденные колебания установились.

Установившиеся вынужденные колебания восполняют потерю энергии именно благодаря работе внешней вынуждающей силы.

Резонанс

Существует очень важное явление, которое довольно часто наблюдается в природе и технике. Это явление называется резонанс. «Резонанс» - слово латинское и переводится на русский язык как «отклик». Резонанс (от лат. resono - «откликаюсь») - явление увеличения амплитуды вынужденных колебаний системы, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия силы к частоте собственного колебания маятника или данной колебательной системы.

Если есть маятник, у которого есть собственная длина, масса или жесткость пружины, то у этого маятника существуют свои колебания, которые характеризуются частотой. Если на этот маятник начинает действовать внешняя вынуждающая сила и частота действия этой силы начинает приближаться к собственной частоте маятника (совпадает с ней), то возникает резкое увеличение амплитуды колебаний. Это и есть явление резонанса.

В результате такого явления колебания могут быть настолько большими, что тело, сама колебательная система, будет разрушаться. Известен случай, когда строй солдат, шедший через мост, в результате такого явления просто-напросто обрушили мост. Еще один случай, когда в результате движения воздушных масс, достаточно мощных порывов ветра обрушился мост в США. Это тоже явление резонанса. Колебания моста, собственные колебания совпали с частотой порывов ветра, внешней вынуждающей силы. Это привело к тому, что амплитуда настолько увеличилась, что мост разрушился.

Это явление стараются учитывать при проектировании сооружений и механизмов. Например, при движении поезда может произойти следующее. Если едет вагон и этот вагон в такт своего движения начинает раскачиваться, то амплитуда колебаний может увеличиться на столько, что вагон может сойти с рельсов. Произойдет крушение. Для характеристики такого явления используют кривые, которые называются резонансными.

Рис. 4. Резонансная кривая. Пик кривой - максимальная амплитуда

Конечно, с резонансом не только борются, но и используют. Используют его по большей части в акустике. Там, где есть зрительный зал, театральный зал, концертный зал мы обязательно должны учитывать явление резонанса.

Список дополнительной литературы:

А так ли хорошо знаком вам резонанс? // Квант. — 2003. — № 1. — С. 32-33 Физика: Механика. 10 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики / М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др.; Под ред. Г.Я. Мякишева. - М.: Дрофа, 2002. Элементарный учебник физики. Под ред. Г.С. Ландсберга, Т. 3. - М., 1974

Обратимся ещё раз к рисунку 53. Перемещая шарик из точки О (положения равновесия) в точку В, мы растягиваем пружину. При этом мы совершаем некоторую работу по преодолению силы её упругости, благодаря чему пружина приобретает потенциальную энергию. Если теперь отпустить шарик, то по мере его приближения к точке О деформация пружины и потенциальная энергия маятника будут уменьшаться, а скорость и кинетическая энергия - увеличиваться.

Допустим, что потери энергии на преодоление сил трения при движении маятника пренебрежимо малы. Тогда, согласно закону сохранения энергии, полную механическую энергию маятника (т. е. Е п + Е к) в любой момент времени можно считать одинаковой и равной той потенциальной энергии, которую мы изначально сообщили пружине, растянув её на длину отрезка ОВ. При этом маятник мог бы совершать колебания сколь угодно долго с постоянной амплитудой, равной ОВ.

Так было бы, если бы при движении не было никаких потерь энергии.

Но реально потери энергии всегда есть. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха, переходя при этом во внутреннюю энергию. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается, и через некоторое время колебания прекращаются. Такие колебания называются затухающими (рис. 66).

Рис. 66. Графики зависимости от времени амплитуды свободных колебаний, происходящих в воде и в воздухе

Чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания. Например, в воде колебания затухают быстрее, чем в воздухе (рис. 66, а, б).

До сих пор рассматривались свободные колебания, т. е. колебания, происходящие за счёт начального запаса энергии.

Свободные колебания всегда затухающие, так как весь запас энергии, первоначально сообщённый колебательной системе, в конце концов уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (т. е. механическая энергия переходит во внутреннюю). Поэтому свободные колебания почти не имеют практического применения.

Чтобы колебания были незатухающими, необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Это можно осуществить, воздействуя на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Например, каждый раз подталкивая качели в такт их колебаниям, можно добиться того, чтобы колебания не затухали.

• Колебания, совершаемые телом под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями

Внешняя периодически изменяющаяся сила, вызывающая эти колебания, называется вынуждающей силой .

Если на покоящиеся качели начать действовать периодически меняющейся вынуждающей силой, то в течение некоторого времени амплитуда вынужденных колебаний качелей будет возрастать, т. е. амплитуда каждого последующего колебания будет больше, чем предыдущего. Увеличение амплитуды прекратится тогда, когда энергия, теряемая качелями на преодоление силы трения, станет равна энергии, получаемой ими извне (за счёт работы вынуждающей силы).

В большинстве случаев постоянная частота вынужденных колебаний устанавливается не сразу, а спустя некоторое время после их начала.

Когда амплитуда и частота вынужденных колебаний перестают меняться, говорят, что колебания установились.

Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы .

Вынужденные колебания могут совершать даже тела, которые не являются колебательными системами, например, игла швейной машины, поршни в двигателе внутреннего сгорания и многие другие. Колебания таких тел тоже происходят с частотой вынуждающей силы.

Вынужденные колебания - незатухающие. Они происходят до тех пор, пока действует вынуждающая сила.

Вопросы

1. Что можно сказать о полной механической энергии колеблющегося маятника в любой момент времени, если допустить, что потерь энергии нет? Согласно какому закону это можно утверждать?
2. Как меняется с течением времени амплитуда свободных колебаний, происходящих в реальных условиях? В чём причина такого изменения?
3. Где быстрее прекратятся колебания маятника - в воздухе или в воде? Почему? (Начальный запас энергии в обоих случаях одинаков.)
4. Могут ли свободные колебания быть незатухающими? Почему? Что необходимо делать для того, чтобы колебания были незатухающими?
5. Что можно сказать о частоте установившихся вынужденных колебаний и частоте вынуждающей силы?
6. Могут ли тела, не являющиеся колебательными системами, совершать вынужденные колебания? Приведите примеры.
7. До каких пор происходят вынужденные колебания?

Упражнение 25

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. Эта сила, как правило, выполняет двоякую роль: во-первых, она раскачивает систему и сообщает ей определенный запас энергии; во-вторых, она периодически восполняет потери энергии (расход энергии) на преодоление сил сопротивления и трения.

Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по закону:

Составим уравнение движения для системы, колеблющейся под воздействием такой силы. Предполагаем, что на систему также действует квазиупругая сила и сила сопротивления среды (что справедливо в предположении малости колебаний). Тогда уравнение движения системы будет иметь вид:

Проведя подстановки, - собственная частота колебаний системы, получим неоднородное линейной дифференциальное уравнение 2 го порядка:

Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения известно:

С помощью векторной диаграммы можно убедиться, что такое предположение справедливо, а также определить значения “a” и “j”.

Амплитуда колебаний определяется следующим выражением:

Значение “j”, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания от обусловившей его вынуждающей силы, также определяется из векторной диаграммы и составляет:

Окончательно, частное решение неоднородного уравнения примет вид:

Эта функция в сумме дает общее решение неоднородного дифференциального уравнения, описывающего поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (2) играет заметную роль в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 1). С течением времени из-за экспоненциального множителя роль второго слагаемого (2) все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое (1).

Рис 1.

Таким образом, функция (1) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных w 0 и b) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания “j” также зависит от частоты вынуждающей силы. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: учебное пособие для втузов. - 4-е изд., испр. - М.: Высш. шк., 2012. - 428 с.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой.

В целом ряде случаев колебательная система совершает колебания под действием внешней силы, работа которой периодически возмещает потерю энергии на трение и другие сопротивления. Частота таких колебаний зависит не от свойств самой колеблющейся системы, а от частоты изменения периодической силы, под действием, которой система совершает свои колебания. В этом случае мы имеем дело с вынужденными колебаниями, т. е. с колебаниями, навязанными нашей системе действием внешних сил.

Источники возмущающих сил, следовательно, и вынужденных колебаний, весьма разнообразны.

Остановимся на характере возмущающих сил, встречающихся в природе и в технике. Как уже указывалось, электрические машины, паровые или газовые турбины, быстровращающиеся маховики и т.д. из-за несбалансированности вращающихся масс вызывают колебания роторов, перекрытий фундаментов зданий и т.д. Поршневые машины, к которым относятся двигатели внутреннего сгорания и паровые машины, из-за происходящего возвратно-поступательного движения некоторых частей (например, поршня), выхлопа газов или пара, являются источником периодических возмущающих сил.

Обычно возмущающие силы увеличиваются с ростом числа оборотов машины, поэтому исключительно важное значение приобретает борьба с вибрациями в быстроходных машинах. Она осуществляется часто путем создания специального упругого фундамента или устройством упругой подвески машины. Если машина жестко укреплена на фундаменте, то возмущающие силы, действующие на машину, почти целиком передаются на фундамент и далее через грунт на здание, в котором машина установлена, а также на рядом расположенные сооружения.

Для того чтобы уменьшить действие неуравновешенных сил на основание, необходимо, чтобы собственная частота колебаний машины на упругом основании (прокладке) была значительно ниже частоты возмущающих сил, определяемой числом оборотов машины.

Причиной вынужденных колебаний судна, качки кораблей являются волны, набегающие периодически на плавающее судно. Кроме качки корабля в целом под действием волнения воды, наблюдаются также вынужденные колебания (вибрация) отдельных частей корпуса судна. Причиной таких вибраций является неуравновешенность главного двигателя судна, вращающего гребной винт, а также вспомогательных механизмов (насосов, динамо-машин и т.п.). Во время работы судовых механизмов возникают силы инерции неуравновешенных масс, частота повторения которых зависит от числа оборотов машины. Кроме того, вынужденные колебания судна могут быть вызваны периодическим воздействием лопастей гребного винта на корпус судна. Зоммерфельд А., Механика. Ї Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. Ї168 с.

Вынужденные колебания моста могут быть вызваны идущей по нему в ногу группой людей. Колебания железнодорожного моста могут возникнуть под действием спарников, соединяющих ведущие колеса проходящего паровоза. К причинам, вызывающим вынужденные колебания подвижного железнодорожного состава (электровоза, паровоза или тепловоза, и вагонов), относятся периодически повторяющиеся удары колес о стыки рельсов. Вынужденные колебания автомобилей вызываются повторяющимися ударами колес о неровности дорожного покрова. Вынужденные колебания лифтов и подъемных клетей шахт происходят вследствие неравномерности работы подъемной машины, вследствие неправильной формы барабанов, на которые наматываются канаты, и т.п. Причинами, вызывающими вынужденные колебания проводов электропередач, высоких зданий, мачт и дымовых труб могут быть порывы ветра.

Особый интерес представляют вынужденные колебания самолетов, которые могут вызываться различными причинами. Здесь, прежде всего, следует иметь в виду вибрацию самолета, вызываемую работой винтомоторной группы. Вследствие неуравновешенности кривошипно-шатунного механизма, работающих двигателей и вращающихся воздушных винтов возникают периодические толчки, поддерживающие вынужденные колебания.

Наряду с колебаниями, вызываемыми действием рассмотренных выше внешних периодических сил, в самолетах отмечаются и внешние воздействия другого характера. В частности, возникают вибрации, связанные с плохой обтекаемостью передней части самолета. Плохое обтекание надстроек на крыле или неплавное соединение крыла с фюзеляжем (корпусом) самолета приводит к вихре образованиям. Вихри воздуха, отрываясь, создают пульсирующий поток, бьющий по хвостовому оперению и вызывающий его тряску. Такая тряска самолета наступает при определенных режимах полета и проявляется в виде толчков, происходящих не вполне регулярно, через 0,5-1 секунду.

Такого рода колебания, связанные, главным образом, с вибрацией частей самолета вследствие завихрения при обтекании крыла и других передних частей самолета, называют «баффтингом». Явление баффтинга, вызванное срывом потоков с крыла, особенно опасно, когда период ударов по хвостовой части самолета близок к периоду свободных колебаний оперения или фюзеляжа самолета. В этом случае колебания типа «баффтинг» резко возрастают.

Весьма интересные случаи баффтинга наблюдались при сбрасывании десанта с крыла самолета. Появление людей на крыле приводило к вихреобразованиям, вызывающим вибрации самолета. Другой случай появления баффтинга оперения на двухместном самолете был вызван тем, что в задней кабине сидел пассажир и выступающей головой способствовал вихреобразованию в потоке воздуха. При отсутствии пассажира в задней кабине никаких колебаний не наблюдалось.

Важное значение имеют также изгибные колебания воздушного винта, вызываемые возмущающими силами аэродинамического характера. Эти силы возникают вследствие того, что винт при вращении за каждый оборот дважды проходит мимо передней кромки крыла. Скорости же потока воздуха в непосредственной близости от крыла и на некотором удалении от него различны, а потому и аэродинамические силы, действующие на воздушный винт, должны периодически изменяться дважды за каждый оборот винта. Это обстоятельство и служит причиной возбуждения поперечных колебаний лопастей винта.